mate

Universidad de Sonora
Departamento de Matemáticas

Tesis

Clasificación de Grupos Abelianos

Que para obtener el título de

Licenciado en Matemáticas

Presenta

Martín Eduardo Frías Armenta

Hermosillo, Sonora, 15 julio de 1993

Contenido
Introducción

3

1 Grupos Abelianos Finitos

7

1.1 Preliminares
1.2 Descomposición en Grupos Cíclicos Primarios
1.3 Unicidadde la Descomposición

8
14
23

2 Grupos Abelianos Infinitos

33

2.1 Preliminares
2.2 Grupos de Torsión
2.3 Grupos Divisibles

33
43
47

59

3 Grupos Divisibles
3.1 Tres Proposiciones Preliminares
3.2 Dos Proposiciones que Caracterizan
3.3 Una Proposición Adicional

59
64
65

4 Grupos Finitamente Generados

67

4.1 Grupos Abelianos Libres
4.2Teorema Fundamental

67
75

A Lema de Zorn

83

Bibliografía

85

Indice Alfabético

87

1

2

CONTENIDO

Introducción
Dentro de las matemáticas hay un tipo de estructuras algebraicas llamadas grupos que aparecen en muchos campos,
Howard Eves escribe (ver [1, pag. 130 ])
"... El programa de Erlangen pareció legítimo y correcto en un tiempo
en que la teoría degrupos invadía casi todo el dominio de la matemática,

y algunos profesores de ésta empezaron a creer que toda matemática no
es sino un aspecto u otro de la teoría de los grupos. ..."

Aunque Eves da entender que los grupos han pasado ha segundo termino, todavía existen muchos campos, de la matemática,en los que el
concepto de grupos es fundamental, por ejemplo, la base de la TopologíaAlgebraica es el llamado grupo fundamental.'

Hay un resultado (teorema de Cayley) que nos dice que todo grupo
es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. Pero este no
es un gran adelanto ya que el grupo de permutaciones es siempre más
•

1El grupo fundamental del círculo es Z, el grupo fundamental del toro hueco es
ZXZ, el grupo fundamental del plano proyectivo es Z2 el de la botellade Klein Z2
el de la esfera es el trivial etc. Hay muchas propiedades de los espacios topológicos
que se pueden probar apartir de la estructura de su grupo fundamental.(Para más
sobre esto se puede ver Tesis de licenciatura de Gloria G. Andablo Reyes).

3

4

INTRODUCCIÓN

complicado que el original. Un mejor camino para desentrañar la estructura de los grupos es tratar de ponerlosen terminos de otros grupos
más conocidos y más manejables. En este sentido hay un resultado llamado teorema de "Jordan-1181der" que dice que cualquier grupo finito
tiene una única descomposición en grupos finitos simples2; este teorema
es similar al teorema fundamental de la aritmética en el sentido de que
la descomposición siempre existe y es única salvo el orden. Esto no es
tan fuerte comoparece, ya que puede haber dos grupos distintos con
la misma descomposición; por ejemplo:

22 X Z2

y 24 tienen la misma

"descomposición Jordan-H51der"(a saber 22), y sin embargo son grupos distintos.

En presente trabajo se desarrolla un resultado más fuerte3 para el
caso concreto de grupos abelianos. Además de que se desarrolla una
teoría similar para grupos abelianos finitamentegenerados, y grupos
abelianos infinitos.

En el capítulo uno, se demuestra que todo grupo abeliano finito
tiene una única descomposición como suma directa de grupos ATI para
varios primos p, más aun si dos grupos tienen la misma descomposición
son isomorfos.
En el capítulo dos se demuestra que todo grupo abeliano arbitrario
es suma directa de un grupo "divisible" más un grupo "reducido", ylos
2Ver [3, 51 de la bibliografía o Tesis de licenciatura de Guillermo Davila donde
se hace un desarrollo similar a los libros citados.
3De la descomposición de un grupo sólo se puede construir el grupo en cuestión.

INTRODUCCIÓN

5

divisibles4 a su vez son sumas directas de copias de Q, y de "2(pc°)"
para varios primos p.
En el capítulo tres se hace una mejor caracterización de los...