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¿QUE ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).
Límite de una sucesión
La definición del límite matemático en el caso de una sucesión es muy parecida a la definición del límite de una función cuando x tiende a {draw:frame} . Decimos quela sucesión an tiende hasta su límite a, o que converge o es convergente (a a), lo que denotamos como:
{draw:frame}
si podemos encontrar un número N tal que todos los términos de la sucesión a a cuando n crece sin cota. Formalmente:
{draw:frame} {draw:frame}
_Las sucesiones matemáticas, pueden ser convergentes (tienden a un número, pero nunca_ lo alcanzan) o divergentes (tienden a ¥ o a-¥ ).
Se dice que un número L es el límite de una sucesión, de término general an, si la diferencia en valor absoluto entre an y L es menor que un número cualquiera, e , previamente elegido. Expresado matemáticamente ½ an - L½ < e. Esta definición es de Cauchy.
El límite de una sucesión cuyo término general es nk es ¥ .
El límite de una sucesión cuyo término general es 1/nk es 0
Ellímite de una sucesión cuyo término general es kn es 0, donde 0 < k 1
El límite de una sucesión cuyo término general es un polinomio es divergente. Su limite es + ¥ , cuando el coeficiente del termino de mayor grado es positivo, y -¥ , cuando es negativo.
El límite de una suma o diferencia de sucesiones es la suma o diferencia da cada una de ellas
El límite de un producto o cociente desucesiones es el producto o cociente de los límites de cada una de ellas.
El límite de la sucesión potencia de dos sucesiones es igual al límite de la sucesión base, elevado al límite de la sucesión exponente.
El límite de la sucesión potencia de una sucesión es igual al límite de la sucesión elevado al exponente de la potencia.
A veces, al calcular el límite de una sucesión nos sale unaindeterminación.
Si una sucesión (an ) tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
Si una sucesión (an ) tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos dela sucesión.
Si una sucesion (an) tiende a menos infinito y (an) < 0 entonces 1 / an tiende a 0
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir losconceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS
Definiciones:
Una sucesión {draw:frame} es creciente si para todo {draw:frame} : {draw:frame} . Una sucesión {draw:frame} es decreciente si para todo {draw:frame} : {draw:frame} .
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
Unasucesión está acotada por arriba si existe un real {draw:frame} tal que para todo {draw:frame} : {draw:frame} . Una sucesión está acotada por debajo si existe un real {draw:frame} tal que para todo {draw:frame} : {draw:frame} .
Teorema: (Weierstrass)
Toda sucesión creciente y acotada por arriba converge.
Toda sucesión decreciente y acotada por debajo converge.
Además,si {draw:frame} converge, entonces {draw:frame} . Por ejemplo, si {draw:frame} , entonces {draw:frame} .
Los hechos anteriores nos permiten calcular límites de sucesiones monótonas y acotadas. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo: Sea {draw:frame} la siguiente sucesión: {draw:frame} , {draw:frame} . Encuentre el límite de {draw:frame} (si existe).
Solución:
Primero veamos que...