Teorema de limite central

Teorema Del Límite Central
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurrecuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande. []
Definición
Sea la función de densidad de la distribución normal definida como[]

Con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es , a la distribución se le conoce como normal estándar.
Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamentedistribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

De manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

Para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Znconvergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

Donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:
Teorema del límite central: Sea , , ..., un conjunto devariables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ2 distinta de cero. SeaEntonces. |
Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral ,

Puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:[]
Teorema (del límite central): Sea , , ..., un conjunto de variables aleatoria,independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoriaTiene aproximadamente una distribución normal con y . |

Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de , excepto la existencia de media y varianza.[]
* El teorema del límite central garantiza unadistribución normal cuando n es suficientemente grande.
* Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.
* La aproximación entre las dos distribuciones es, engeneral, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).
* Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

Teorema Chi cuadradoEn estadística, la distribución χ² (de Pearson), llamada Chi cuadrado o Ji cuadrado, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde son variables aleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria tenga esta distribución se representa habitualmente así: .
Esconveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi y se pronuncia en castellano como ji.]

Su función de densidad es:

Donde es la función gamma.

Su función de distribución es:

Donde es la función gamma incompleta.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.
La distribución χ² es un caso...