Coordenadas polares

Integrales Múltiples:
Definición de integral doble, áreas y volúmenes.

Definición de Integral doble:
Si f esta definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R esta dada por:
∬_R▒〖f(x,y)dA= lim┬(‖∆‖→0)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(xi,yi)〗 〗 ∆Ai
Siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces f es integrable sobre R.

Propiedades de lasintegrales dobles:
Sean f y g continuas en una región cerrada y acotada R del plano, y sea c una constante.
∬_R▒〖cf(x,y)dA=c〗 ∬_R▒f(x,y)dA
∬_R▒〖[f(x,y)± g(x,y)]dA=〗 ∬_R▒f(x,y)dA±∬_R▒g(x,y)dA
∬_R▒f(x,y)dA≥0,si f(x,y)≥0
∬_R▒f(x,y)dA≥ ∬_R▒g(x,y)dA, si f(x,y)≥g(x,y)
∬_R▒f(x,y)dA= ∬_R1▒〖f(x,y)dA+∬_R2▒〖f(x,y)dA 〗〗
donde R es la union de dos subregiones R1 y R2 que no se sobreponen.

Teoremade Fubini.
El siguiente teorema lo demostró el matemático italiano Guido Fubini. El teorema establece que si R es vertical u horizontal simple y f es continua en R, la integral doble de f en R es igual a una integral iterada.

Sea f continua en una región plana R

Si R esta definida por a ≤ x ≤ b y g1(x) ≤ y ≤ g2 (x), donde g1 y g2 son continuas en (a,b), entonces:
∬_R▒f(x,y)dA=∬_(a g1(x))^(b g2(x) )▒〖f(x,y)dydx.〗

Si R está definida por c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ x ≤ h2 (y), donde h1 y h2 son continuas en (c,d), entonces:

∬_R▒f(x,y)dA=∬_(c h1(y) )^(d h2(y) )▒〖f(x,y)dxdy.〗

Integral doble en volúmenes
Teorema
Sea f una función de dos variables y continua en una región cerrada R del plano xy tal que f(x, y) mayor o igual a cero para todo (x, y) de R. Si V unidades cúbicases el volumen del sólido S que tiene la región R como su base y cuya altura es f(x, y) unidades en el punto (x, y) de R, entonces:

Jacobianos de transformación.
En componentes, la ecuación:
dr=δr/(δu₁) du₁ + δr/(δu₂) du^2+ δr/(δu₃) du₃ =∑_(i=1)^3▒δr/δui dui (1.1)
Puede escribirse:
dxᵢ = ∑_j▒〖(∂xᵢ )/∂υj dυj〗 =∑_j▒〖j_ij dυj〗 (1.10)

Con
j_ij= ∂xᵢ / ∂υj (1.11)

En formamatricial la ecuación (1.10) se escribe: dx = Jdu donde dx y du son los vectores columna:
dx=■(dx₁@dx₂@dx₃) d=■(dυ₁@dυ₂@dυ₃)
J Es la matriz de transformación de los diferenciales de coordenadas, cuyos elementos son j_ij= ∂xᵢ / ∂υj El determinante |J| se conoce como el Jacobiano, que ha de ser diferente de cero para garantizar que la transformación sea invertible.También, con: r = îx + j ̂y + k ̂z (1.5) toma la forma:
e ̂ᵢ=1/hi(î∂x/∂υi + j ̂ ∂y/∂υi+ k ̂ ∂z/∂υi ) (1.12)

Que es la regla de transformación entre vectores unitarios. Introduciendo la notación ((Є ) ̂₁ ,Є ̂₂ , (Є ) ̂₃)= (î, j ̂, k ̂), escribimos r =∑_j▒a ji Є ̂j también se escribe:

e ̂ᵢ=∑_j▒□(((Є ) ̂j)/hi) ( ∂xj)/∂υi =∑_j▒a ji Є ̂j (1.13)
Donde hemos definido:
a_ij =1/hi∂xj/∂υi (1.14)

Introduciendo los vectores columna:
e ̂ = ■(e ̂₁ @e ̂₂@e ̂₃) Є ̂ =■(Є ̂₁@Є ̂₂@Є ̂₃)

Y considerando a_ij como elementos de la matriz A (a_ij son elementos de su transpuesta), podemos escribir (1.13) como:
e ̂=A ̃Є (1.15)
A ̃ Es la transpuesta de A. Es cierto, de acuerdo a las ecuaciones (1.11) y (1.14), que
j_ij=a_ij h_i o matricialmente:
J=AH (1.16)Con
H =(■(hi &0&0@0&h2 &0@0&0&h3 )¦) (1.17)
Ahora bien, un postulado básico de la teoría de transformación asegura la invarianza del elemento de línea dr, y en general de cualquier vector, bajo transformación de coordenadas. En consecuencia los módulos de los vectores son también invariantes. Es cierto que en coordenadas cartesianas dl²=∑_i▒〖dxᵢ dxᵢ 〗 y que en coordenadascurvilíneas:
dl²= dr • dr =∑_jk▒〖hj hk〗 e ̂j•e ̂k dυj dυk = ∑_jk▒〖hj hk dυj dυk 〗 δjk
La invarianza de dl² asegura que su valor es el mismo en el sistema coordenado original y en el nuevo, esto es:

∑_i▒〖dxᵢ dxᵢ 〗=∑_jk▒〖hj hk dυj dυk 〗 δjk

Y puesto que, según (1.11), dxᵢ= ∑_j▒〖j_ij dυj〗 se sigue, del renglón anterior:

∑_ijk▒JijJikdυj duk = ∑_jk▒〖hj hk dυj dυk 〗 δjk
De donde...