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CAP´ ITULO 3 APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
o. d eM
3.1.
3.1.1.
y

´ APLICACIONES GEOMETRICAS
g(x)

γ β

dad

de

An tio

qui

f (x)

a, D

Trayectorias Isogonales y Ortogonales

ept

ersi

En la figura 3.1 se tiene que α = β + γ, luego γ = α − β, donde γ es el angulo formado por las tangentes en el punto de intersecci´n. ´ o 49

Un iv

Figura 3.1

atemα

atic
x

as

CAP´ ITULO 3.

APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN, JAIME ESCOBAR A.

Definici´n 3.1 (Trayectorias Isogonales). o a). Dada una familia de curvas f (x, y, c) = 0, existe otra familia g(x, y, c) = 0 que corta a la familia f bajo un mismo angulo γ. A ´ la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f y g(x, y, c) = 0 es soluci´n de la E.D.: o tan γ= tan(α − β) = f (x) − g (x) f (x) − y tan α − tan β = = 1 + tan α tan β 1 + f (x)g (x) 1 + f (x)y

por derivaci´n impl´ o ıcita:

y + (x + c) ⇒ En la E.D.: 1=
y − x+c − y

dad

de

dy y =− dx x+c
−y
1 y

An tio

dy =0 dx

ersi

Un iv

y 1 + − x+c y

=

−y y
y

qui

d d (y(x + c)) = (1) dx dx

a, D
= −y 2 − y 1 − y2y

1+ −y 1

1 − y 2 y = −y 2 − y ⇒ y (y 2 −1) = 1 + y 2 y = 50 y2 − 1 y2 + 1 ⇒ 2 dy = dx y2 − 1 y +1

ept

Ejemplo 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y(x + c) = 1. o Soluci´n: f (x) − y =1 tan 450 = 1 + f (x)y

o. d

eM

atem

tan α tan β = f (x)g (x) = −1 = f (x)y

atic

b). En particular, cuando γ = 900 , a g se le llama la familia de trayectorias ortogonales de f y en este caso g es soluci´n de laE.D.: o

as

´ 3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS

1−

2 1 + y2

dy = dx

y − 2 tan−1 y = x + K g(x, y, K) = 0 = y − 2 tan−1 y − x − K

3.1.2.

Problemas de Persecuci´n: o

Ejemplo 2. Un esquiador acu´tico P localizado en el punto (a, 0) es a 51

Un iv

Ejercicio 7. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas x + y = C1 ey quepasa por (0, 5). (Rta.: y = 2 − x + 3e−x )

ersi

dad

Ejercicio 6. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = C1 e−x . 2 (Rta.: y2 = x + C)

de

An tio

Ejercicio 5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvas y = C1 x2 . 2 (Rta.: x + y 2 = C) 2

qui

a, D

Ejercicio 4. Determinar la curva que pasa por ( 1 , 3 ) y corta acada 2 2 miembro√ la familia x2 + y 2 = c2 formando un angulo de 60o . de ´ √ 1 (Rta.: 3 tan−1 x = ± 1 ln |x2 + y 2 | + 3 tan−1 3 − 1 ln 5 ) y 2 2 2

ept

o. d

Ejercicio 3. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hiprbolas a equil´teras xy = c. (Rta.: x2 − y 2 = C)

eM

atem

Ejercicio 2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia y 2 = cx3 . (Rta.: 2x2 + 3y 2 =C2 )

atic

Ejercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y = ceax , donde c y a son constantes. 2 (Rta.: y + a ln |ay − 1| = x + c)

as

CAP´ ITULO 3.

APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN, JAIME ESCOBAR A.

remolcado por un bote de motor Q localizado en el or´ ıgen y viaja hacia arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este sedirige en todo momento hacia el bote. y Q

x
P (x, y)

(a, 0) Figura 3.2

por lo tanto, y =− √ sec2 −1 = −

separando variables:

a2 − x 2 dx, x por medio de la sustituci´n trigonom´trica x = sen α en el lado derecho de o e la E.D., se llega a que: √ √ a + a2 − x 2 y = a ln − a2 − x2 + C; x dy = − 52

Un iv

ersi

dad

√ a2 a2 − x 2 −1=− , donde x > 0, x2 x √

de

An tio

secθ = −

PQ a =− x x

qui

pero de la figura 3.2 y teniendo en cuenta que P Q = a, se tiene que

a, D

o e Soluci´n: del concepto geom´trico de derivada se tiene que: √ y = tan θ = − sec2 θ − 1,

ept

o. d

eM

atem

atic
x

θ

as

´ 3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS como el esquiador arranca desde el punto (a, 0), entonces las condiciones iniciales son x = a, y = 0;...
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