Mates

1 Funcions d’una variable
´ ´ 1 El cost de produccio de x unitats d’un b´ de consum ve donat per la funcio e C ( x ) = 2x2 + 200x + 1200 a. Calcula C (0), C (150) i C (151) − C (150) b. Calcula C ( x + 1) − C ( x ) i explica el significat d’aquesta difer` ncia. e a. C (0) = 2 ∗ 02 + 200 ∗ 0 + 1200 = 1200 C (150) = 2 ∗ 1502 + 200 ∗ 150 + 1200 = 76200 C (151) − C (150) = 2 ∗ 1512 + 200 ∗ 151 + 1200− C (150) = 77002 − 76200 = 802

b. C ( x + 1) − C ( x ) = 2( x + 1)2 + 200( x + 1) + 1200 − (2x2 + 200x + 1200)

= 2( x2 + 2x + 1) + 200x + 200 − 2x2 − 200x = 2x2 + 4x + 2 + 200 − 2x2 = 4x + 202
C ( x + 1) − C ( x ) es el cost marginal de produir la unitat x + 1. ´ 2 H. Schultz va estimar que la demanda de coto en els Estats Units en el periode 19151919 va ser de D ( P) = 6.4 − 0.3P (ambunitats apropiades per al preu P i la quantitat D ( P)). ´ a. Troba la demanda si el preu es de 8, 10, 10.22. ´ b. Si la demanda es 3.13, quin es el preu? a. D (8) = 6.4 − 0.3 ∗ 8 = 4 D (10) = 6.4 − 0.3 ∗ 10 = 3.4 D (10.22) = 6.4 − 0.3 ∗ 10.22 = 3.334

1

b. En aquest cas ens proporcionen el valor de la demanda i tenim que calcular el preu, es a dir, ens diuen que 3.13 = D ( P) i tenim quecalcular el valor de P. 3.13 = D ( P) = 6.4 − 0.3 ∗ P 3.13 − 6.4 = −0.3 ∗ P −3.27 P= = 10.9 −0.3

´ 3 Per a la funcio f (u) = 2u2 + 3u − 5, calcula f (0), f (1/x ), f ( x + h) i a. f (0) = 2 ∗ 02 + 3 ∗ 0 − 5 = −5 b. f (1/x ) = 2(1/x )2 + 3(1/x ) − 5 c. f ( x + h ) = 2( x + h )2 + 3( x + h ) − 5

f ( x +h)− f ( x ) . h

= 2( x2 + 2xh + h2 ) + 3x + 3h − 5 = 2x2 + 4xh + 2h2 + 3x + 3h − 5

c. f (x + h) − f ( x ) 2x2 + 4xh + 2h2 + 3x + 3h − 5 − (2x2 + 3x − 5) = h h 4xh + 2h2 + 3h = h = 4x + 2h + 3

4 Si F (t) =

t 1+ t

i G (t) =

t 1− t ,

prova que F (t) − G (t) = −2G (t2 ) t t − 1+t 1−t t (1 − t ) − t (1 + t ) = (1 + t)(1 − t) t − t2 − t − t2 = 1 − t2 t2 = −2 = −2G (t2 ) 1 − t2

F (t) − G (t) =

2

¨ 5 Calcula el domini de les funcions seguents: a. f ( x ) = b. f ( x )= c. f ( x ) = d. f ( x ) = e. f ( x ) = f. f ( x ) = g. f ( x ) =
2x 3x −5 x 2 −1 x2 −3x +2 x 2 −4 x4 −6x3 +11x2 −6x

√ √ √ 4

3x + 5

x2 + x − 2

4 − x2
x −2 x 2 −1

´ ´ a. El domini d’una divisio son tots els numeros reals excepte quan el denominador val 0. En aquest cas 3x − 5 = 0 ⇒ x = 5/3. Aleshores el domini D = R − {5/3}. ¨ b. En el seguent cas, tenim que calcular les arrelsdel polinomi x2 − 3x + 2 x2 − 3x + 2 = 0 x= 3±

√

9−8 2

´ Aleshores el domini es D = R − {2, 1}. c. Per Ruffini podem obtindre les arrels del polinomi x4 ?6x3 + 11x2 − 6x = x ( x − x 2 −4 ´ 1)( x − 2)( x − 3). Aix´, el domini de f ( x ) = x4 −6x3 +11x2 −6x es R − {0, 1, 2, 3}. ı d. Les arrels parells existeixen sempre que l’interior siga major o igual que 0. Aleshores ` tenim que calcularquan 3x + 5 ≥ 0. Aixo es dona quan x ≥ −5/3. ´ Amb el que el domini de f ( x ) es D = [−5/3, +∞[. e. El domini de f ( x ) ser` quan x2 + x − 2 ≥ 0. Per a calcular aquesta desigualtat, a primer calcularem x2 + x − 2 = 0, d’on obtenim que x = −2 i x = 1. Com per al punt x = 0 tenim que x2 + x − 2 val −2 < 0, tenim que x2 + x − 2 ≥ 0 quan x ≤ −2 i x ≥ 1. ´ Aleshores, el domini de f ( x ) es D =] − ∞,−2] ∪ [1, ∞[. ´ f. Procedint igual que en l’apartat anterior tenim que el domini de f ( x ) es D = [−2, 2].

3

g. Primer, calculem quan s’anula el denominador x2 − 1 = 0. Es a dir x = 1 i x = −1. I ara tenim que asegurar-nos que el quocient siga major que 0. Es a dir, que el numerador i denominador siguen possitius o que el numerador i denominador siguen negatius. x − 2 < 0 si x < 2 x − 2 ≥ 0 six ≥ 2   x2 − 1 ≥ 0 si x ≤ −1  x2 − 1 < 0 si − 1 < x < 1   2 x − 1 ≥ 0 si x ≥ 1 Aleshores:  < 0 si x < −1    x − 2 ≥ 0 si − 1 ≤ x ≤ 1 f (x) = 2 x − 1 < 0 si 1 < x < 2    ≥ 0 si x ≥ 2

´ ´ Aleshores, el domini de la funcio f ( x ) es D =] − 1, 1[∪[2, +∞[

¨ 7 Troba el pendent de les rectes que passen pels parells de punts seguents: a. (1, 2) i (4, 7) b. (−1, −2) i (3, −5) c....