Variable compleja

10 0 -10 0 -50 0 50 -50

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Ejercicios de Funciones de Variable Compleja y Geometría Diferencial
Martín Rivas
e-mail:martin.rivas@ehu.es http://tp.lc.ehu.es/martin.htm
Departamento de Física Teórica

UPV/EHU Leioa, Febrero 2010

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Capítulo 1

Operaciones con números complejos
Sea z ∈ C, un número complejo arbitrario que lo escribimos de la forma z = x+iy , con x, y ∈ R, de talmanera que x = Re z e y = Im z , son la parte Real y parte Imaginaria de z , respectivamente. Con los números complejos podemos hacer las siguientes operaciones:

Suma Producto Conjugación Valor absoluto Distancia entre complejos

: : : : :

z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ). z → z , z = x − iy, ¯ ¯ √ z ¯ |z| = x2 + y 2 = |¯| = z z ≥ 0, d(z1 ,z2 ) = |z1 − z2 | = |z2 − z1 | ≥ 0.

Además, la suma y el producto son operaciones conmutativas y asociativas

z1 + z2 = z2 + z1 ,

z1 z2 = z2 z1 , z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 = z1 z2 z3 ,

z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 = z1 + z2 + z3 ,
y satisfacen entre ellas las operaciones de distributividad:

z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .
La conjugación `respeta' a las dos operaciones suma yproducto y al valor absoluto:

(z1 + z2 ) = z1 + z2 , ¯ ¯

(z1 z2 ) = z1 z2 , ¯ ¯

|z| = |¯| = |z|. z

Las potencias enteras del complejo i son i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 y las demás se reducen a éstas. Solamente existe un complejo z = 0, si y solo si x = y = 0, y los números reales son precisamente aquellos números complejos que son idénticos a sus complejos conjugados.

z = z, ¯

⇐⇒z ∈ R.

El valor absoluto satisface |z1 z2 | = |z1 ||z2 | y las:

desigualdades triangulares |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, Fórmula de Euler Teorema de De Moivre
ez ≡ ex+iy = ex (cos y + i sin y)

|z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 || .

Si el complejo z se escribe como z = r(cos θ + i sin θ), z = reiθ , el producto aparece como z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 ) , y las potencias z n = rn einθ , entoncesz n = rn (cos nθ + i sin nθ).
Como resulta que eiθ = einθ , entonces (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ, de donde se pueden obtener todas las reglas trigonométricas de los ángulos múltiples y ángulos fraccionarios. 3
n

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CAPÍTULO 1. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Problemas
1.1 Vericar las operaciones siguientes, tanto en su forma ordinaria como usando la forma polar de losnúmeros complejos que se indican:
5i = 1 + 2i, (−1 + i)7 = −8(1 + i). 2+i √ √ √ √ √ i(1 − i 3)( 3 + i) = 2 + 2i 3, (1 + i 3)−10 = 2−11 (−1 + i 3),

1.2 Describir geométricamente cada una de las regiones del plano complejo
a) −π < arg z < π, |z| > 3; b) 1 < |z − 2i| < 2; c) |2z + 3| > 5; d) Im(z 2 ) > 0 y Im(z 2 ) ≥ 0; 1 e) Re z ≤ 1 ; 2 f) |z − 3| > |z|.

1.3 Indicar qué representangeométricamente las siguientes ecuaciones y desigualdades:
{a} |z − 1 − i| = 1, {b} |z − 1| = |z + i|,
√ −3 3

{c} |z − 1 + i| ≥ |z − 1 − i|,
]

{d} |z + 4i| + |z − 4i| = 10.

1.4 Si z = 6eiπ/3 , evaluar |eiz |. [Sol. e

1.5 Encontrar todas las soluciones de los sistemas de ecuaciones:
a)
y

|z − 12| 5 = , |z − 8i| 3 |z 2 − 2i| = 4,

|z − 4| = 1, |z − 8| |z + 1 + i| = 1. |z − 1 − i|

b)[Sol. z1 = 6 + 17i,

z2 = 6 + 8i y z1 = 1 − i,

z2 = −1 + i.]

1.6 Encontrar todas las soluciones de cada una de las 8 ecuaciones:
z 2 = i; z 7 + 1 = 0; z 2 = 3 − 4i; z 8 = 1 + i; z 3 = −1; z = z3; ¯ z 6 = 64;

|z| − z = 1 + 2i;

1.7 Encontrar para qué valores de z se satisface la ecuación
cos(z − i) = 2.
Resolver asímismo la ecuación
3

[Sol.z = 2kπ + i(1 − ln(2 ±

√

(z − 1 +i)(z − 1)2 = z.

3)), k ∈ Z y z1 = (1 − i)/2 y z2 = (3 + i)/5][Parcial Abril 2004]

1.8 Demostrar las fórmulas siguientes:
(1 + cos α + i sin α)2n 1 + i tan α 1 − i tan α
n

= =

α 2n inα e , 2 1 + i tan nα , 1 − i tan nα 2 cos

Sugerencia: Escribir esas relaciones en términos del ángulo mitad.

1.9 Demostrar que no hay ningún valor de z para el cual la función ez se anula....